撲克牌上的“梅花”并非梅花，甚至不是花，而是三葉草。在西方歷史上，三葉草是一種很有象征意義的植物，據(jù)說第一葉代表希望，第二葉代表信心，第三葉代表愛情，而如果你找到了四葉的三葉草，就會交上好運，找到了幸福。在野外尋找四葉的三葉草，是西方兒童的一種游戲，不過很難找到，據(jù)估計，每一萬株三葉草，才會出現(xiàn)一株四葉的突變型。

在中國，梅花有著類似的象征意義。民間傳說梅花五瓣代表著五福。民國把梅花定為國花，聲稱梅花五瓣象征五族共和，具有敦五倫、重五常、敷五教的意義。但是梅花有五枚花瓣并非獨特，事實上，花最常見的花瓣數(shù)目就是五枚，例如與梅同屬薔薇科的其他物種，像桃、李、櫻花、杏、蘋果、梨等等就都開五瓣花。常見的花瓣數(shù)還有：3枚，鳶尾花、百合花（看上去6枚，實際上是兩套3枚）；8枚，飛燕草；13枚，瓜葉菊；向日葵的花瓣有的是21枚，有的是34枚；雛菊的花瓣有的是34、55或89枚。而其他數(shù)目花瓣的花則很少。為什么花瓣數(shù)目不是隨機分布的？3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...這些數(shù)目有什么特殊嗎？

有的，它們是斐波納契數(shù)。斐波納契（1170-1240）是中世紀意大利數(shù)學家，他不是在數(shù)花瓣數(shù)目，而是在解一道關于兔子繁殖的問題時，得出了這個數(shù)列。假定你有一雄一雌一對剛出生的兔子，它們在長到一個月大小時開始交配，在第二月結束時，雌兔子產(chǎn)下另一對兔子，過了一個月后它們也開始繁殖，如此這般持續(xù)下去。每只雌兔在開始繁殖時每月都產(chǎn)下一對兔子，假定沒有兔子死亡，在一年后總共會有多少對兔子？

在一月底，最初的一對兔子交配，但是還只有1對兔子；在二月底，雌兔產(chǎn)下一對兔子，共有2對兔子；在三月底，最老的雌兔產(chǎn)下第二對兔子，共有3對兔子；在四月底，最老的雌兔產(chǎn)下第三對兔子，兩個月前生的雌兔產(chǎn)下一對兔子，共有5對兔子；……如此這般計算下去，兔子對數(shù)分別是：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...看出規(guī)律了嗎？從第3個數(shù)目開始，每個數(shù)目都是前面兩個數(shù)目之和。

植物似乎對斐波納契數(shù)著了迷。不僅花，還有葉、枝條、果實、種子等等形態(tài)特征，都可發(fā)現(xiàn)斐波納契數(shù)。葉序是指葉子在莖上的排列方式，最常見的是互生葉序，即在每個節(jié)上只生1葉，交互而生。任意取一個葉子做為起點，向上用線連接各個葉子的著生點，可以發(fā)現(xiàn)這是一條螺旋線，盤旋而上，直到上方另一片葉子的著生點恰好與起點葉的著生點重合，做為終點。從起點葉到終點葉之間的螺旋線繞莖周數(shù)，稱為葉序周。不同種植物的葉序周可能不同，之間的葉數(shù)也可能不同。例如榆，葉序周為1（即繞莖1周），有2葉；桑，葉序周為1，有3葉；桃，葉序周為2，有5葉；梨，葉序周為3，有8葉；杏，葉序周為5，有13葉；松，葉序周為8，有21葉……用公式表示（繞莖的周數(shù)為分子，葉數(shù)為分母），分別為1/2, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13, 8/21, ……這些是最常見的葉序公式，據(jù)估計大約有90％植物屬于這類葉序，而它們?nèi)际怯伸巢{契數(shù)組成的。

你如果觀察向日葵的花盤，會發(fā)現(xiàn)其種子排列組成了兩組相嵌在一起的螺旋線，一組是順時針方向，一組是逆時針方向。再數(shù)數(shù)這些螺旋線的數(shù)目，雖然不同品種的向日葵會有所不同，但是這兩組螺旋線的數(shù)目一般是34和55、55和89或89和144，其中前一個數(shù)字是順時針線數(shù)，后一個數(shù)字是逆時針線數(shù)，而每組數(shù)字都是斐波納契數(shù)列中相鄰的兩個數(shù)。再看看菠蘿、松果上的鱗片排列，雖然不像向日葵花盤那么復雜，也存在類似的兩組螺旋線，其數(shù)目通常是8和13。有時候這種螺旋線不是那么明顯，需要仔細觀察才會注意到，例如花菜。如果你拿一顆花菜認真研究一下，會發(fā)現(xiàn)花菜上的小花排列也形成了兩組螺旋線，再數(shù)數(shù)螺旋線的數(shù)目，是不是也是相鄰的兩個斐波納契數(shù)，例如順時針5條，逆時針8條？掰下一朵小花下來再仔細觀察，它實際上是由更小的小花組成的，而且也排列成了兩條螺旋線，其數(shù)目也是相鄰的兩個斐波納契數(shù)。

為什么植物如此偏愛斐波納契數(shù)？這和另一個更古老的、早在古希臘就被人們注意到甚至去崇拜它的另外一個“神秘”數(shù)字有關。假定有一個數(shù)φ，它有如下有趣的數(shù)學關系

φ² - φ¹ -φ⁰ =0

即：

φ² -φ -1 =0

解這個方程，有兩個解：

(1 + √5) / 2 = 1.6180339887...

(1 - √5) / 2 = - 0.6180339887...

注意這兩個數(shù)的小數(shù)部分是完全相同的。正數(shù)解（1.6180339887...）被稱為黃金數(shù)或黃金比率，通常用φ表示。這是一個無理數(shù)（小數(shù)無限不循環(huán)，沒法用分數(shù)來表示），而且是最無理的無理數(shù)。同樣是無理數(shù)，圓周率π用22/7，自然常數(shù)e用19/7, √2用7/5就可以很精確地近似表示出來，而φ則不可能用分母為個位數(shù)的分數(shù)做精確的有理近似。

黃金數(shù)有一些奇妙的數(shù)學性質。它的倒數(shù)恰好等于它的小數(shù)部分，也即1/φ = φ-1，有時這個倒數(shù)也被稱為黃金數(shù)、黃金比率。如果把一條直線AB用C點分割，讓AB/AC = AC/CB，那么這個比等于黃金數(shù)，C點被稱為黃金分割點。如果一個等腰三角形的頂角是36度，那么它的高與底線的比等于黃金數(shù)，這樣的三角形稱為黃金三角形。如果一個矩形的長寬比是黃金數(shù)，那么從這個矩形切割掉一個邊長為其寬的正方形，剩下的小矩形的長寬比還是黃金數(shù)。這樣的矩形稱為黃金矩形，它可以用上述的方法無限切割下去，得到一個個越來越小的黃金矩形，而如果把這些黃金矩形的對角用弧線連接起來，則形成了一個對數(shù)曲線。常見的報紙、雜志、書、紙張、身份證、信用卡用的形狀都接近于黃金矩形，據(jù)說這種形狀讓人看上去很舒服。的確，在我們的生活中，黃金數(shù)無處不在，建筑、藝術品、日常用品在設計上都喜歡用到它，因為它讓我們感到美與和諧。

那么黃金數(shù)究竟和斐波納契數(shù)有什么關系呢？根據(jù)上面的方程：φ² -φ -1 =0，可得：

φ = 1 + 1/φ

= 1 + 1/ (1 + 1/φ)

= ...

= 1 + 1/( 1 + 1/( 1 + 1/( 1 +...)))

根據(jù)上面的公式，你可以用計算器如此計算φ：輸入1，取倒數(shù)，加1，和取倒數(shù)，加1，和取倒數(shù)，……，你會發(fā)現(xiàn)總和越來越接近φ。讓我們用分數(shù)和小數(shù)來表示上面的逼近步驟：

φ ≈ 1

φ ≈ 1 + 1/1 = 2/1 = 2

φ ≈ 1 + 1/(1+1/1) = 3/2 = 1.5

φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+1)) = 5/3 = 1.666667

φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+(1+1))) = 8/5 = 1.6

φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+(1+(1+1)))) = 13/8 = 1.625

φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+(1+(1+(1+1))))) = 21/13 =1.615385

φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+(1+(1+(1+(1+1)))))) = 34/21 = 1.619048

φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+(1+(1+(1+(1+(1+1))))))) = 55/34 = 1.617647

φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+(1+(1+(1+(1+(1+(1+1)))))))) = 89/55 = 1.618182...

發(fā)現(xiàn)了沒有？以上分數(shù)的分子、分母都是相鄰的斐波納契數(shù)。原來相鄰兩個斐波納契數(shù)的比近似等于φ，數(shù)目越大，則越接近，當無窮大時，其比就等于φ。斐波納契數(shù)與黃金數(shù)是密切聯(lián)系在一起的。植物喜愛斐波納契數(shù)，實際上是喜愛黃金數(shù)。這是為什么呢？莫非冥冥之中有什么安排，是上帝想讓世界充滿了美與和諧？

植物的枝條、葉子和花瓣有相同的起源，都是從莖尖的分生組織依次出芽、分化而來的。新芽生長的方向與前面一個芽的方向不同，旋轉了一個固定的角度。如果要充分地利用生長空間，新芽的生長方向應該與舊芽離得盡可能的遠。那么這個最佳角度是多少呢？我們可以把這個角度寫成360°× n，其中0＜n ＜1，由于左右各有一個角度是一樣的（只是旋轉的方向不同），例如n=0.4和n=0.6實際上結果相同，因此我們只需考慮 0.5≤n＜1的情況。如果新芽要與前一個舊芽離得盡量遠，應長到其對側，即n = 0.5 =1/2，但是這樣的話第2個新芽與舊芽同方向，第3個新芽與第1個新芽同方向，……，也就是說，僅繞1周就出現(xiàn)了重疊，而且總共只有兩個生長方向，中間的空間都浪費了。如果0.6 = 3/5 呢？繞3周就出現(xiàn)重疊，而且總共也只有5個方向。事實上，如果n是個真分數(shù) p/q，則意味著繞p周就出現(xiàn)重疊，共有q個生長方向。

顯然，如果n是沒法用分數(shù)表示的無理數(shù)，就會“有理”得多。選什么樣的無理數(shù)呢？圓周率π、自然常數(shù)e和√2都不是很好的選擇，因為它們的小數(shù)部分分別與1/7, 5/7和2/5非常接近，也就是分別繞1, 5和2周就出現(xiàn)重疊，分別總共只有7, 7和5個方向。所以結論是，越是無理的無理數(shù)越好，越“有理”。我們在前面已經(jīng)提到，最無理的無理數(shù)，就是黃金數(shù)φ≈1.618。也就是說，n的最佳值≈0.618，即新芽的最佳旋轉角度大約是360°× 0.618 ≈ 222.5°或 137.5°。

前面已提到，最常見的葉序為1/2, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13和8/21，表示的是相鄰兩葉所成的角度（稱為開度），如果我們要把它們換算成n（表示每片葉子最多繞多少周），只需用1減去開度，為1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21。它們是相鄰兩個斐波納契數(shù)的比值，是不同程度地逼近1/φ。在這種情形下，植物的芽可以有最多的生長方向，占有盡可能多的空間。對葉子來說，意味著盡可能多地獲取陽光進行光合作用，或承接盡可能多的雨水灌溉根部；對花來說，意味著盡可能地展示自己吸引昆蟲來傳粉；而對種子來說，則意味著盡可能密集地排列起來。這一切，對植物的生長、繁殖都是大有好處的?？梢?，植物之所以偏愛斐波納契數(shù)，乃是在適者生存的自然選擇作用下進化的結果，并不神秘。